《高 等 数 学》
一、考试大纲适用对象及考试性质
本大纲适用于重庆市普通高校申请“专升本”的理工类、经济类各专业高职高专学生，目的在于考核和检测学生掌握《高等数学》教学大纲基本要求与应用能力的情况。
按本大纲进行的考试系选拔性考试，其结果将作为重庆市普通高校高职高专学生申请“专升本”的成绩依据。
二、考试形式
（一）试卷题型及分值分布
1．试卷题型
单选题、填空题、计算题、应用题、证明题。
2．分值分布
试卷总分为120 分。
单选题与填空题 约 40 分。
计算题与应用题 约 73 分。
证明题 约 7 分。
各部分内容约占比例如下：
微积分（包括向量代数与空间解析几何、微分方程、无穷级数） 约70%
线性代数 约20%
概率论初步 约10%
（二）考试方式及考试时间
1．考试方式为闭卷笔试。
2．考试时间为120分钟。
三、考试内容及要求
（一）考试内容
1．一元函数微分学
（1） 函数，函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性，复合函数与反函数，初等函数；
（2） 数列极限与函数极限，两个重要极限；
（3） 无穷小、无穷大及两者关系，无穷小的比较；
（4） 函数的连续性、间断点，间断点的分类；
（5） 闭区间上连续函数的性质；
（6） 函数的导数，基本求导公式与求导法则，导数的几何意义，高阶导数，微分；
（7） 中值定理、洛必达法则；
（8） 极值，函数的单调性、凹凸性及拐点、函数作图；
2．一元函数积分学
（1） 不定积分的概念与性质，不定积分与微分之间的关系；
（2） 不定积分的换元法与分部积分法；
（3） 定积分的概念与性质；
（4） 积分上限函数的定义及积分上限函数的导数；
（5） 定积分的换元法和分部积分法；
（6） 平面图形的面积及旋转体的体积；
（7） 反常积分的概念与计算。
3．向量代数与空间解析几何
（1） 向量的运算，向量平行垂直的条件；
（2） 平面方程；
（3） 空间直线方程；
（4） 平面、直线间的平行垂直关系。
4．多元函数微积分学
（1） 二元函数的概念及其定义域的求法；
（2） 偏导数的定义及计算；
（3） 二元函数的极值，条件极值；
（4） 全微分的定义及计算；
（5） 二重积分的概念；
（6） 二重积分的计算。
5．微分方程
（1） 微分方程的基本概念；
（2） 可分离变量的微分方程；
（3） 齐次微分方程；
（4） 一阶线性微分方程；
（5） 二阶常系数齐次线性微分方程。
6．无穷级数
（1） 无穷级数的概念和性质；
（2） 常数项级数的审敛法；
（3） 幂级数及其收敛性。
7．线性代数
（1） 行列式的概念与性质；
（2） 线性方程组的克莱姆法则；
（3） 行列式按行（列）展开定理；
（4） 矩阵的概念与运算；
（5） 逆矩阵的概念与性质；
（6） 矩阵的初等变换；
（7） 矩阵的秩；
（8） 线性方程组解的性质和解的结构；
（9） 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及解法；
（10） 非齐次线性方程组有解的充分必要条件及解法。
8．概率论初步
（1） 随机事件及其概率；
（2） 随机变量及其分布；
（3） 随机变量的数字特征。
（二）考试基本要求
1．一元函数微分学
（1） 理解函数概念，知道函数的表示法；理解函数的两要素，会求函数的定义域及函数值；
（2） 了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性等定义；
（3） 了解复合函数与反函数的定义，会求单调函数的反函数；
（4） 知道基本初等函数的性质与图像；
（5） 了解各类极限概念（包括左、右极限），熟练掌握求各类极限的方法；
（6） 理解无穷小量与无穷大量的概念及两者的关系，掌握无穷小量的性质和无穷小量的比较；
（7） 掌握两个重要极限；
（8） 理解函数连续与间断的定义；知道间断点的分类；会利用连续性求极限；会判别间断点的类型；
（9） 了解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理，会应用零点存在定理证明某些具体方程有实根；
（10） 理解导数的定义，会根据定义求函数的导数；
（11） 知道可导与连续的关系；
（12） 熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法、对数求导法及参数方程求导法（参数方程求导限于一阶）；
（13） 熟练掌握初等函数的一阶和高阶导数的求法，会求曲线上指定点的切线方程和法线方程；
（14） 了解微分的定义、可微与可导的关系，以及一阶微分形式的不变性；掌握微分运算与求导运算的关系；会求函数的微分；
（15） 知道罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理的内容。会用罗尔定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日定理证明一些简单不等式；
（16） 熟练掌握用洛必达（L’Hospital）法则求不定式极限的方法；
（17） 知道极值的定义、极值存在的必要条件及两个充分条件；
（18） 会求函数的单调区间和极值；会求闭区间上连续函数的最大值与最小值；会求一些简单应用问题的最值，会应用单调性证明不等式；
（19） 了解函数的凹凸性及曲线拐点的定义，会求函数的凹凸区间及曲线的拐点；
（20） 会求曲线的渐近线（水平、垂直），会利用导数方法描绘一些简单函数的图形。
2．一元函数积分学
（1） 知道不定积分的概念和性质；
（2） 熟练掌握不定积分的基本公式；
（3） 熟练掌握不定积分的第一换元积分法和分部积分法；
（4） 掌握不定积分的第二换元法（限于三角代换法、简单根式代换法）；
（5） 知道积分变上限函数的定义，掌握求积分变上限函数导数的方法；
（6） 理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质；
（7） 熟练掌握牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，并会用换元积分法和分部积分法计算定积分；
（8） 掌握定积分的微元法，会求直角坐标系下的平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积；
（9） 理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握其计算。
3．向量代数与空间解析几何
（1） 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦；
（2） 掌握向量的线性运算、向量的数量积、向量积的计算方法；
（3） 熟练掌握二向量平行、垂直的条件；
（4） 会求平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程。会判定两平面的垂直、平行；
（5） 了解直线的一般式方程，会求直线的对称式（点向式）方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直；
（6） 会判定直线与平面的位置关系（垂直、平行、直线在平面上）。
4．多元函数微积分学
（1） 理解二元函数的概念，会求一些简单二元函数的定义域；
（2） 熟练掌握显函数的一阶、高阶偏导数的求法；
（3） 会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；
（4） 熟练掌握二元函数全微分的求法；
（5） 熟练掌握用直角坐标计算二重积分的方法；
（6） 会用极坐标计算二重积分。
5．微分方程
（1） 理解微分方程的定义及阶、解、通解等概念；
（2） 熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法；
（3） 理解二阶常系数齐次线性微分方程解的性质及通解的结构；
（4） 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
6．无穷级数
（1） 理解无穷级数收敛、发散的概念；
（2） 知道级数收敛的必要条件和级数的主要性质；
（3） 知道等比级数和P级数的敛散性；
（4） 熟练掌握正项级数的比值审敛法，会用正项级数的比较判别法；
（5） 理解幂级数的收敛半径与收敛区间的定义；
（6） 熟练掌握求幂级数的收敛半径和收敛区间的方法。
7．线性代数
（1） 理解行列式的概念，知道元素的余子式、代数余子式的含义，掌握行列式的性质；
（2） 掌握行列式的展开定理和行列式的计算；
（3） 会用克莱姆（Cramer）法则；
（4） 熟练掌握矩阵的线性运算及运算法则、矩阵的乘法及运算法则；
（5） 理解矩阵的逆矩阵及矩阵的秩的概念；
（6） 掌握求矩阵的逆和秩的方法；
（7） 会解简单的矩阵方程；
（8） 掌握矩阵的初等变换；
（9） 掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握非齐次线性方程组解的结构和判定；
（10） 熟练掌握线性方程组的解法。
8．概率论初步
（1） 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系和运算；
（2） 了解概率的统计定义，掌握概率的基本性质和概率的加法公式；
（3） 掌握古典概率的计算公式，会求一些事件发生的概率；
（4） 掌握事件独立性的定义，能用事件的独立性计算概率；
（5） 理解随机变量的概念，会求一些简单离散型随机变量的分布列；
（6） 理解随机变量的数学期望及方差的概念，掌握期望和方差的基本性质，会求一些简单随机变量的期望和方差。
*注：本大纲对理论、概念等从高到低的要求是：理解，知道，了解；对方法、计算等从高到低的要求是：熟练掌握，掌握，会。
参考书目：
1. 同济大学数学系 高等数学（第六版） 高等教育出版社 2007
2. 李开慧. 余英. 应用高等数学基础（上、下册）重庆大学出版社 2005.7
3. 彭玉芳等 线性代数（第二版） 高等教育出版社 2003
